مشخص کنید که هر تابع در کدام نقطه یا نقاط مشخص شده مشتق‌پذیر نیست.
حل تمرین کار در کلاس صفحه 82 ریاضی دوازدهم
یک تابع در یک نقطه مشتق‌پذیر نیست، اگر در آن نقطه **ناپیوسته** باشد، دارای **گوشه یا شکستگی** باشد، یا دارای **مماس عمودی** باشد.
### 1. نمودار سمت بالا و چپ
* **$x_1$:** تابع **پیوسته** و هموار است. \implies **مشتق‌پذیر است.**
* **$x_2$:** تابع دارای یک **نقطه بیشینه محلی هموار** است. \implies **مشتق‌پذیر است.** ($f'(x_2) = 0$)
* **$x_3$:** تابع **پیوسته** و هموار است. \implies **مشتق‌پذیر است.**
$$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ در هیچ یک از نقاط مشخص شده مشتق‌پذیر نیست.}$$
---
### 2. نمودار سمت بالا و وسط
* **$x_1$:** تابع **پیوسته** و هموار است. \implies **مشتق‌پذیر است.**
* **$x_2$:** تابع دارای **گسستگی جهشی (ناپیوستگی)** است (حد چپ $\ne$ حد راست). \implies **مشتق‌پذیر نیست.**
* **$x_3$:** تابع **پیوسته** و هموار است. \implies **مشتق‌پذیر است.**
$$\mathbf{\text{نتیجه: در } x_2 \text{ مشتق‌پذیر نیست (ناپیوستگی جهشی)}}$$
---
### 3. نمودار سمت بالا و راست
* **$x_1$:** تابع دارای **گوشه (Corner)** است. شیب‌های چپ و راست در این نقطه برابر نیستند. \implies **مشتق‌پذیر نیست.**
* **$x_2$:** تابع دارای **گوشه (Corner)** است. شیب‌های چپ و راست در این نقطه برابر نیستند. \implies **مشتق‌پذیر نیست.**
* **$x_3$:** تابع **پیوسته** و هموار است. \implies **مشتق‌پذیر است.**
$$\mathbf{\text{نتیجه: در } x_1 \text{ و } x_2 \text{ مشتق‌پذیر نیست (گوشه)}}$$
---
### 4. نمودار سمت پایین و چپ
* **$x_1$:** تابع **پیوسته** و هموار است. \implies **مشتق‌پذیر است.**
* **$x_2$:** تابع دارای **مجانب قائم** است. تابع در $x_2$ تعریف نشده و ناپیوسته است. \implies **مشتق‌پذیر نیست.**
* **$x_3$:** تابع **پیوسته** و هموار است. \implies **مشتق‌پذیر است.**
$$\mathbf{\text{نتیجه: در } x_2 \text{ مشتق‌پذیر نیست (مجانب قائم و ناپیوسته)}}$$
---
### 5. نمودار سمت پایین و وسط
* **$x_1$:** تابع **پیوسته** و هموار است. \implies **مشتق‌پذیر است.**
* **$x_2$:** تابع **تعریف نشده** و در نتیجه ناپیوسته است. \implies **مشتق‌پذیر نیست.**
* **$x_3$:** تابع **پیوسته** است، اما مماس در این نقطه **عمودی** است (شیب نامتناهی). \implies **مشتق‌پذیر نیست.**
$$\mathbf{\text{نتیجه: در } x_2 \text{ (تعریف‌نشده) و } x_3 \text{ (مماس قائم) مشتق‌پذیر نیست.}}$$
---
### 6. نمودار سمت پایین و راست
* **$x_1$:** تابع **پیوسته** و هموار است. \implies **مشتق‌پذیر است.**
* **$x_2$:** تابع دارای **گوشه (Corner)** است. شیب‌های چپ و راست در این نقطه برابر نیستند. \implies **مشتق‌پذیر نیست.**
* **$x_3$:** تابع **پیوسته** و هموار است. \implies **مشتق‌پذیر است.**
$$\mathbf{\text{نتیجه: در } x_2 \text{ مشتق‌پذیر نیست (گوشه)}}$$
